Question

如圖，某商業(yè)中心O有通往正東方向和北偏東30°方向的兩條街道，某公園P位于商業(yè)中心北偏東θ角（0＜θ＜

π

2

，tanθ=3

3

），且與商業(yè)中心O的距離為

21

公里處，現(xiàn)要經(jīng)過公園P修一條直路分別與兩條街道交匯于A，B兩處．
（1）當(dāng)AB沿正北方向時(shí)，試求商業(yè)中心到A，B兩處的距離和；
（2）若要使商業(yè)中心O到A，B兩處的距離和最短，請(qǐng)確定A，B的最佳位置．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立坐標(biāo)系．設(shè)P（m，n），依題意，AB⊥OA，則OA=

9

2

，OB=2OA=9，即可求商業(yè)中心到A，B兩處的距離和；
（2）設(shè)A（n，0），AB：

y-0

3 2 -0

=

x-n

9 2 -n

，得xB=

2

n-4

+

1

2

，表示出OA+OB，利用基本不等式，即可確定A，B的最佳位置．

解答： 解：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立坐標(biāo)系．設(shè)P（m，n），
∵0＜θ＜

π

2

，tanθ=3

3

，∴cosθ=

7

14

，sinθ=

3 21

14

，
則m=OP•sinθ=

9

2

，n=OP•cosθ=

3

2

，…（4分）
依題意，AB⊥OA，則OA=

9

2

，OB=2OA=9，商業(yè)中心到A、B兩處的距離和為13.5km．
（2）設(shè)A（n，0），AB：

y-0

3 2 -0

=

x-n

9 2 -n

，得xB=

2

n-4

+

1

2

，OA+OB=n+2xB=n-4+4+

4

n-4

+1=(n-4)+

4

n-4

+5≥9，
當(dāng)且僅當(dāng)n-4=

4

n-4

即n=6時(shí)取等號(hào)．
答：A選地址離商業(yè)中心6km，B離商業(yè)中心3km為最佳位置．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．