Question

4．已知數(shù)列{a_n}的各項均為正整數(shù)，其前n項的和為S_n，若a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{a_n}+1}}{2}，{a_n}是奇數(shù)\\ 3{a_n}-1，{a_n}是偶數(shù)\end{array}$且S₃=10，則S₂₀₁₆=6720．

Answer 1

分析 對a₁與a₂分類討論（奇數(shù)，偶數(shù)），利用遞推關(guān)系可得數(shù)列的周期性，即可得出．

解答 解：（ⅰ）當a₁為奇數(shù)時，${a_2}=\frac{{{a_1}+1}}{2}$，此時若a₂為奇數(shù)，則${a_3}=\frac{{{a_2}+1}}{2}=\frac{{\frac{{{a_1}+1}}{2}+1}}{2}=\frac{{{a_1}+3}}{4}$，
∴${S_3}={a_1}+\frac{{{a_1}+1}}{2}+\frac{{{a_1}+3}}{4}=\frac{{7{a_1}+5}}{4}=10$，解得a₁=5，此時的數(shù)列{a_n}為5，3，2，5，3，2，…．
（ⅱ）當a₁為奇數(shù)時，${a_2}=\frac{{{a_1}+1}}{2}$，此時若a₂為偶數(shù)，則${a_3}=3{a_2}-1=\frac{{3（{a_1}+1）}}{2}-1=\frac{{3{a_1}+1}}{2}$，
∴${S_3}={a_1}+\frac{{{a_1}+1}}{2}+\frac{{3{a_1}+1}}{2}=3{a_1}+1=10$，解得a₁=3，此時的數(shù)列{a_n}為3，2，5，3，2，5，…；
（ⅲ）當a₁為偶數(shù)時，a₂=3a₁-1，此時a₂為奇數(shù)，則${a_3}=\frac{{{a_2}+1}}{2}=\frac{{（3{a_1}-1）+1}}{2}=\frac{{3{a_1}}}{2}$，∴${S_3}={a_1}+3{a_1}-1+\frac{{3{a_1}}}{2}=\frac{11}{2}{a_1}-1=10$，解得a₁=2，此時的數(shù)列{a_n}為2，5，3，2，5，3，…．
上述三種情況數(shù)列{a_n}均為周期數(shù)列，又672×3=2016，∴S₂₀₁₆=6720．
故答案為：6720．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、分類討論、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．