Question

3．已知等比數(shù)列{a_n}和等差數(shù)列{b_n}均是首項(xiàng)為1的遞增數(shù)列，且a₂=b₂，a₃=b₄．
（I）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{c_n}滿(mǎn)足c_n=a_n+（-1）ⁿb_n，求數(shù)列{c_n）前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）c_n=a_n+（-1）ⁿb_n=2^n-1+（-1）ⁿ•n．對(duì)n分類(lèi)討論，分求和，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，等差數(shù)列{b_n}的公差為d＞0，∵a₂=b₂，a₃=b₄．
∴q=1+d，q²=1+3d，解得q=2，d=1．
∴a_n=2^n-1，b_n=1+（n-1）=n．
（II）c_n=a_n+（-1）ⁿb_n=2^n-1+（-1）ⁿ•n．
∴n=2k（k∈N^*）時(shí)，數(shù)列{c_n）前n項(xiàng)和S_n=S_2k=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+（2-1）+（4-3）+…+[n-（n-1）]=2ⁿ-1+k=2ⁿ-1+$\frac{n}{2}$．
n=2k-1時(shí)，S_n=S_2k-1=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-1+（2-3）+（4-5）+…+[（n-1）-n）]=2ⁿ-1-1-（k-1）=2ⁿ-1-$\frac{n+1}{2}$=2ⁿ-$\frac{n+3}{2}$．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}-1+\frac{n}{2}，n=2k}\\{{2}^{n}-\frac{n+3}{2}，n=2k-1}\end{array}\right.$（k∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、分類(lèi)討論方法、分組求和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．