Question

AB為圓O的直徑，點(diǎn)E、F在圓上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面與圓O所在平面互相垂直，已知AB=2，BC=EF=1．
（Ⅰ）求證：BF⊥平面DAF；
（Ⅱ）求多面體ABCDFE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得AD⊥平面ABEF，AD⊥BF，AF⊥BF，由此能證明BF⊥平面DAF．
（Ⅱ）作FA′⊥AB，EB′⊥AB，F(xiàn)D′⊥CD，EC′⊥CD，A′，B′，C′，D′為垂足，多面體ABCDFE的體積V=VFA′D′-EB′C′+2VF-AA′D′D，由此能求出結(jié)果．

解答： （本題滿分12分）
（Ⅰ）證明：因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEF，AD⊥AB，
∴AD⊥平面ABEF，∴AD⊥BF；
又∵AB為圓O的直徑，∴AF⊥BF，
AF∩AD=A，
∴BF⊥平面DAF．…（6分）
（Ⅱ）解：作FA′⊥AB，EB′⊥AB，F(xiàn)D′⊥CD，EC′⊥CD，
A′，B′，C′，D′為垂足，
則多面體ABCDFE的體積V=VFA′D′-EB′C′+2VF-AA′D′D
=

1

2

×

3

2

×1×1+2×

1

3

×

1

2

×1×

3

2

=

5 3

12

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查多面體的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．