Question

已知拋物線C：x²=2my（m＞0）和直線l：y=kx-m沒有公共點(diǎn)（其中k、m為常數(shù)），動(dòng)點(diǎn)P是直線l上的任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)引拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，且直線MN恒過點(diǎn)Q（k，1）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知O點(diǎn)為原點(diǎn)，連接PQ交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，證明：S_△OAP•S_△OBQ=S_△OAQ•S_△OBP．

Answer 1

解：（1）如圖，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由，得
∴PM的斜率為
PM的方程為
同理得
設(shè)P（x₀，y₀）代入上式得，
即（x₁，y₁），（x₂，y₂）滿足方程
故MN的方程為
上式可化為，過交點(diǎn)（mk，m）
∵M(jìn)N過交點(diǎn)Q（k，1），
∴mk=k，m=1
∴C的方程為x²=2y
（2）要證S_△OAP•S_△OBQ=S_△OAQ•S_△OBP，
即證
設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
則…（Ⅰ）
∵P（x₀，y₀），Q（k，1）
∴PQ直線方程為，
與x²=2y聯(lián)立化簡(jiǎn)
∴…①
…②
把①②代入（Ⅰ）式中，
則分子
=…（Ⅱ）
又P點(diǎn)在直線y=kx-1上，
∴y₀=kx₀-1代入Ⅱ中得：
∴=
故得證
分析：（1）對(duì)C的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，設(shè)出兩個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，求出導(dǎo)函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即切線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫出切線
PM，PN 的方程，將P的坐標(biāo)代入得到MN的方程，據(jù)直線的點(diǎn)斜式判斷出MN過的定點(diǎn)，據(jù)已知求出拋物線C的方程．
（2）通過分析法將要證的三角形的面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)的坐標(biāo)問題，設(shè)出直線PQ的方程，將直線方程與橢圓方程 聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得證．
點(diǎn)評(píng)：解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般是設(shè)出直線方程，將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的二次方程，然后利用韋達(dá)定理找突破口．