Question

9．已知：f（x）=x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，4）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若對于任意的x∈[-1，3]，則不等式f（x）-t≤2恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得0和4是方程x²+bx+c=0的兩根，由韋達定理可得b，c的值，即可得到f（x）的解析式；
（2）由題意可得2+t≥f（x）在[-1，3]的最大值，求出f（x）的對稱軸，可得x=-1時，取得最大值，解t的不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）f（x）=x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，4），
可得0和4是方程x²+bx+c=0的兩根，
即有0+4=-b，0×4=c，解得b=-4，c=0，
f（x）=x²-4x；
（2）對于任意的x∈[-1，3]，則不等式f（x）-t≤2恒成立，
即為2+t≥f（x）在[-1，3]的最大值，
由f（x）的對稱軸x=2，且f（-1）=1+4=5，f（3）=9-12=-3，
可得f（x）的最大值為5，
即有2+t≥5，解得t≥3，
則t的取值范圍為[3，+∞）．

點評 本題考查二次不等式與二次方程的關(guān)系，以及韋達定理的運用，考查二次不等式恒成立問題的解法，注意運用分離參數(shù)和二次函數(shù)的最值的求法，考查運算能力，屬于中檔題．