Question

14．在數(shù)列{a_n}中，若a₁，a₂是正整數(shù)，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，n=3，4，5，…，則稱{a_n}為“D-數(shù)列”．
（1）舉出一個(gè)前六項(xiàng)均不為零的“D-數(shù)列”（只要求依次寫出該數(shù)列的前六項(xiàng)）；
（2）若“D-數(shù)列”{a_n}中，a₂₀₁₅=3，a₂₀₁₆=0，數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+a_n+1+a_n+2，n=1，2，3，…，分別判斷當(dāng)n→∞時(shí)，a_n與b_n的極限是否存在？如果存在，求出其極限值（若不存在不需要交代理由）；
（3）證明：任何“D-數(shù)列”中總含有無(wú)窮多個(gè)為零的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）由新定義，比如如10，9，1，8，7，1；
（2）{a_n}的極限不存在，{b_n}的極限存在．運(yùn)用分段形式寫出a_n與b_n的通項(xiàng)公式，即可得到結(jié)論；
（3）運(yùn)用反證法證明．假設(shè){a_n}中只有有限個(gè)零，則存在K，使得當(dāng)n≥K時(shí)，a_n＞0．運(yùn)用推理論證得到{b_n}單調(diào)，即可證明．

解答 解：（1）如10，9，1，8，7，1等等．
（2）{a_n}的極限不存在，{b_n}的極限存在．
事實(shí)上，因?yàn)閨3-0|=3，|0-3|=3，|3-3|=0，
當(dāng)n≥2015時(shí)，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=3k-1}\\{0，n=3k}\\{3，n=3k+1}\end{array}\right.$，k∈Z，
因此當(dāng)n≥2015時(shí)，b_n=6．
所以$\underset{lim}{n→∞}$b_n=6．
（3）證明：假設(shè){a_n}中只有有限個(gè)零，則存在K，使得當(dāng)n≥K時(shí)，a_n＞0．
當(dāng)n≥K時(shí)，記b_n=max{a_n，a_n+1}．
于是a_n+1≤b_n，a_n+2=|a_n-a_n+1|＜max{a_n，a_n+1}＜b_n，故b_n+1≤b_n，
而a_n+3=|a_n+2-a_n+1|＜max{a_n+2，a_n+1}≤b_n+1≤b_n，從而b_n+2＜b_n．
這樣b_K＞b_K+2＞b_K+4＞…形成了一列嚴(yán)格遞減的無(wú)窮正整數(shù)數(shù)列，這不可能，
故假設(shè)不成立，{a_n}中必有無(wú)限個(gè)0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查數(shù)列極限的求法和不等式的證明方法：反證法，考查運(yùn)算和推理能力，屬于中檔題．