Question

4．已知a＞$\frac{1}{2}$，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{6}$x³+$\frac{1}{2}$（a-2）x²+b，g（x）=2alnx，且曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處的切線互相垂直．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=f′（x）-g（x），若對任意的x₁，x₂∈（0，4），且x₁≠x₂，都有F（x₁）=F（x₂），求證：x₁+x₂＞4．（參考公式：（ln（a-x））′=$\frac{1}{x-a}$，a為常數(shù)）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別求得f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)和切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，f'（1）g'（1）=-1，f（1）=g（1）=0解方程可得a，b，c的值；
（Ⅱ）求得F（x）的導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)區(qū)間，由題意可設(shè)0＜x₁＜2＜x₂＜4，設(shè)G（x）=F（x）-F（4-x）=2x-2lnx+2ln（4-x）-4，x∈（2，4），求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{6}$x³+$\frac{1}{2}$（a-2）x²+b的導(dǎo)數(shù)為
$f'（x）=\frac{1}{2}{x^2}+（a-2）x$，可得$f'（1）=a-\frac{3}{2}$，
g（x）=2alnx的導(dǎo)數(shù)為$g'（x）=\frac{2a}{x}$，可得g'（1）=2a，
依題意有f'（1）g'（1）=-1，
由題意可得（a-$\frac{3}{2}$）•2a=-1，（a＞$\frac{1}{2}$），
解得a=1；
又f（1）=g（1）=0，
可得$b=\frac{1}{3}，c=0$．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知a=1，則$F（x）=\frac{1}{2}{x^2}-x-2lnx$，
可得$F'（x）=\frac{（x-2）（x+1）}{x}$，
即有F（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，4）上單調(diào)遞增，
若對任意的x₁，x₂∈（0，4），且x₁≠x₂，都有F（x₁）=F（x₂），
不妨設(shè)0＜x₁＜2＜x₂＜4，
設(shè)G（x）=F（x）-F（4-x）=2x-2lnx+2ln（4-x）-4，x∈（2，4），
可得$G'（x）=\frac{{2{{（x-2）}^2}}}{x（x-4）}$，2＜x＜4，可得G'（x）＜0，
則G（x）單調(diào)遞減，可得G（x）＜G（2）=0，
故對x∈（2，4），F(xiàn)（x）＜F（4-x），
由x₂∈（2，4），可得F（x₂）＜F（4-x₂），
又F（x₁）=F（x₂），則F（x₁）＜F（4-x₂），
因?yàn)閤₁∈（0，2），4-x₂∈（0，2），
而F（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，
所以x₁＞4-x₂，即x₁+x₂＞4．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法和韓寒說的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．