【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,圓C的方程為 (θ為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度,直線的極坐標(biāo)方程.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),判斷直線與的關(guān)系;
(Ⅱ)當(dāng)上有且只有一點(diǎn)到直線的距離等于時(shí),求上到直線距離為的點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)見解析;(2)(2,0)和(0,2).
【解析】試題分析:(I)將曲線方程化成直角坐標(biāo)方程,計(jì)算圓心到直線的距離與圓的半徑比較大小得出結(jié)論;
(II)由題意可知直線與圓相離,且圓心到直線l的距離為2,故到直線l的距離等于2的點(diǎn)在過圓心且與直線l平行的直線上,求出此直線的參數(shù)方程代入圓的方程求出該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù),得出該點(diǎn)的坐標(biāo).
試題解析:
(Ⅰ)圓C的普通方程為:(x-1)2+(y-1) 2=2,
直線l的直角坐標(biāo)方程為:x+y-3=0,
圓心(1,1)到直線l的距離為
所以直線l與C相交.
(Ⅱ) 直線l的普通方程為x+y﹣m=0.
∵C上有且只有一點(diǎn)到直線l的距離等于,
∴直線l與圓C相離,且圓心到直線的距離為.
∴圓C上到直線l的距離等于2的點(diǎn)在過圓心C(1,1)且與直線l平行的直線上.
∴過圓心C(1,1)且與直線l平行的直線的參數(shù)方程為: (t為參數(shù)).
將: (t為參數(shù))代入圓C的普通方程得t2=2,
∴t1=,t2=﹣.
當(dāng)t=時(shí), ,當(dāng)t=﹣時(shí), .
∴C上到直線l距離為2的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2),(2,0).
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【題目】已知拋物線 : ( )的焦點(diǎn)為 ,點(diǎn) 在拋物線 上,且 ,直線 與拋物線 交于 , 兩點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線 的方程;
(2)求 的面積.
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【題目】選修4﹣4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l上兩點(diǎn)M,N的極坐標(biāo)分別為(2,0),( ),圓C的參數(shù)方程 (θ為參數(shù)).
(Ⅰ)設(shè)P為線段MN的中點(diǎn),求直線OP的平面直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系.
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【題目】設(shè)A是由m×n個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表,滿足:每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不大于1,且所有數(shù)的和為零,記s(m,n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.對(duì)于A∈S(m,n),記ri(A)為A的第ⅰ行各數(shù)之和(1≤ⅰ≤m),Cj(A)為A的第j列各數(shù)之和(1≤j≤n);記K(A)為|r1(A)|,|R2(A)|,…,|Rm(A)|,|C1(A)|,|C2(A)|,…,|Cn(A)|中的最小值.
(1)如表A,求K(A)的值;
1 | 1 | ﹣0.8 |
0.1 | ﹣0.3 | ﹣1 |
(2)設(shè)數(shù)表A∈S(2,3)形如
1 | 1 | c |
a | b | ﹣1 |
求K(A)的最大值;
(3)給定正整數(shù)t,對(duì)于所有的A∈S(2,2t+1),求K(A)的最大值.
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【題目】某工藝品廠要設(shè)計(jì)一個(gè)如圖1所示的工藝品,現(xiàn)有某種型號(hào)的長(zhǎng)方形材料如圖2所示,其周長(zhǎng)為4m,這種材料沿其對(duì)角線折疊后就出現(xiàn)圖1的情況.如圖,ABCD(AB>AD)為長(zhǎng)方形的材料,沿AC折疊后AB'交DC于點(diǎn)P,設(shè)△ADP的面積為S2 , 折疊后重合部分△ACP的面積為S1 .
(Ⅰ)設(shè)AB=xm,用x表示圖中DP的長(zhǎng)度,并寫出x的取值范圍;
(Ⅱ)求面積S2最大時(shí),應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)材料的長(zhǎng)和寬?
(Ⅲ)求面積(S1+2S2)最大時(shí),應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)材料的長(zhǎng)和寬?
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【題目】如圖,四邊形ABCD為正方形.PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于點(diǎn)F,F(xiàn)E∥CD,交PD于點(diǎn)E.
(1)證明:CF⊥平面ADF;
(2)求二面角D﹣AF﹣E的余弦值.
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【題目】設(shè)D是函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間,若存在x0∈D,使f(x0)=﹣x0 , 則稱x0是f(x)的一個(gè)“次不動(dòng)點(diǎn)”,也稱f(x)在區(qū)間D上存在次不動(dòng)點(diǎn).若函數(shù)f(x)=ax2﹣3x﹣a+ 在區(qū)間[1,4]上存在次不動(dòng)點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣∞,0)
B.(0, )
C.[ ,+∞)
D.(﹣∞, ]
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|+|x﹣4|﹣a.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值;
(2)若f(x)≥ +1對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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