Question

【題目】選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為 (θ為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度，直線的極坐標(biāo)方程.

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，判斷直線與的關(guān)系；

(Ⅱ)當(dāng)上有且只有一點(diǎn)到直線的距離等于時(shí)，求上到直線距離為的點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)(2,0)和(0,2).

【解析】試題分析：（I）將曲線方程化成直角坐標(biāo)方程，計(jì)算圓心到直線的距離與圓的半徑比較大小得出結(jié)論；

（II）由題意可知直線與圓相離，且圓心到直線l的距離為2，故到直線l的距離等于2的點(diǎn)在過圓心且與直線l平行的直線上，求出此直線的參數(shù)方程代入圓的方程求出該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，得出該點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：

(Ⅰ)圓C的普通方程為：(x-1)2+(y-1) 2=2，

直線l的直角坐標(biāo)方程為：x+y-3=0,

圓心(1,1)到直線l的距離為

所以直線l與C相交.

(Ⅱ) 直線l的普通方程為x+y﹣m=0．

∵C上有且只有一點(diǎn)到直線l的距離等于，

∴直線l與圓C相離，且圓心到直線的距離為．

∴圓C上到直線l的距離等于2的點(diǎn)在過圓心C（1，1）且與直線l平行的直線上．

∴過圓心C（1，1）且與直線l平行的直線的參數(shù)方程為： （t為參數(shù)）．

將： （t為參數(shù)）代入圓C的普通方程得t2=2，

∴t1=，t2=﹣．

當(dāng)t=時(shí)， ，當(dāng)t=﹣時(shí)， ．

∴C上到直線l距離為2的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），（2，0）．