Question

8．數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，且對任意的m，n∈N₊都有a_m+n=a_m+a_n+m•n，則$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2016}}}}$=（　�。�

• A． $\frac{2015}{2016}$
• B． $\frac{2015}{1008}$
• C． $\frac{2016}{2017}$
• D． $\frac{4032}{2017}$

Answer 1

分析 由數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，且對任意的m，n∈N₊都有a_m+n=a_m+a_n+m•n，可得a_n+1=a_n+a₁+n，即a_n+1-a_n=1+n，利用“累加求和”、“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：由數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，且對任意的m，n∈N₊都有a_m+n=a_m+a_n+m•n，
則a_n+1=a_n+a₁+n，∴a_n+1-a_n=1+n，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=n+（n-1）+…+2+1
=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
則$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2016}}}}$=2$[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}）]$
=2$（1-\frac{1}{2017}）$
=$\frac{4032}{2017}$．
故選：D．

點評 本題考查了“累加求和”、“裂項求和”方法、遞推關系、等差數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．