Question

6．在數(shù)列{a_n}中，從數(shù)列{a_n}中選出n（n≥3）項并按原順序組成新的數(shù)列記為{b_n}，并稱{b_n}為數(shù)列{a_n}的n項子列，例如a_n=$\frac{1}{n}$，數(shù)列$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{8}$為{a_n}的一個4項子列．
（1）試寫出數(shù)列{a_n}的一個3項子列，并使其為等差數(shù)列；
（2）若a_n=$\frac{1}{n}$，{b_n}為數(shù)列{a_n}的一個5項子列，且{b_n}為等差數(shù)列，證明：{b_n}的公差d滿足-$\frac{1}{8}$＜d＜0；
（3）若{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，其子列a${\;}_{{k}_{1}}$，a${\;}_{{k}_{2}}$，a${\;}_{{k}_{3}}$，a${\;}_{{k}_{n}}$，…恰為等比數(shù)列，且k₁=1，k₂=3，k₃=7，令S_n=k₁+k₂+…+k_n，求證：$\frac{6}{{3}^{2}（{S}_{1}+1+2）-12}$+$\frac{6}{{3}^{3}（{S}_{2}+2+2）-12}$+$\frac{6}{{3}^{4}（{S}_{3}+3+2）-12}$+…+$\frac{6}{{3}^{n+1}（{S}_{n}+n+2）-12}$＜$\frac{97}{340}$．

Answer 1

分析 （1）可舉$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{6}$，公差為-$\frac{1}{6}$；
（2）知1≥b₁＞b₂＞b₃＞b₄＞b₅＞0，假設(shè)b₁=1，確定b₂，再確定公差d的范圍，從而得到b₁的范圍，由b5＞0，即可得到d的范圍；
（3）運用等比數(shù)列的中項的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式，可得a₁=2d，求得k₄=15，求得S_n=2ⁿ⁺¹-n-2，再化簡所求式子，運用放縮法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得證．

解答 解：（1）答案不唯一．如3項子列$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{6}$，公差為-$\frac{1}{6}$；
（2）證明：由題意，知1≥b₁＞b₂＞b₃＞b₄＞b₅＞0，
所以d=b₂-b₁＜0．
假設(shè)b₁=1，
由{b_n}為{a_n}的一個5項子列，得b₂≤$\frac{1}{2}$，
所以d=b₂-b₁≤$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$．
因為b₅=b₁+4d，b₅＞0，
所以4d=b₅-b₁=b₅-1＞-1，即d＞-$\frac{1}{4}$．
這與d≤-$\frac{1}{2}$矛盾．
所以假設(shè)不成立，即b₁≠1．
所以b₁≤$\frac{1}{2}$，
因為b₅=b₁+4d，b₅＞0，
所以4d=b₅-b₁≥b₅-$\frac{1}{2}$＞-$\frac{1}{2}$，即d＞-$\frac{1}{8}$，
綜上，得-$\frac{1}{8}$＜d＜0；
（3）設(shè){a_n}是公差d不為0的等差數(shù)列，
由a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，可得a₁a₇=a₃²，
即為a₁（a₁+6d）=（a₁+2d）²，
即有a₁=2d，（d≠0），
則a_n=（n+1）d，
等比數(shù)列的公比為q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$=$\frac{4d}{2d}$=2，
即有k₄=2⁴-1=15，可得k_n=2ⁿ-1，
又S_n=k₁+k₂+…+k_n=（2+4+8+…+2ⁿ）-n
=2ⁿ⁺¹-n-2，
則$\frac{6}{{3}^{n+1}（{S}_{n}+n+2）-12}$=$\frac{6}{{3}^{n+1}•{2}^{n+1}-12}$=$\frac{6}{{6}^{n+1}-12}$=$\frac{1}{{6}^{n}-2}$，
由$\frac{1}{{6}^{n}-2}$＜$\frac{1}{{5}^{n}}$，即有$\frac{6}{{3}^{2}（{S}_{1}+1+2）-12}$+$\frac{6}{{3}^{3}（{S}_{2}+2+2）-12}$+$\frac{6}{{3}^{4}（{S}_{3}+3+2）-12}$+…+$\frac{6}{{3}^{n+1}（{S}_{n}+n+2）-12}$＜$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{25}$+…+$\frac{1}{{5}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{5}（1-\frac{1}{{5}^{n}}）}{1-\frac{1}{5}}$＜$\frac{1}{4}$＜$\frac{97}{340}$．

點評 本題考查新定義的理解和運用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，以及不等式的證明，注意運用放縮法，考查推理能力，屬于中檔題．