Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）如果a＞0，討論函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（1，e）上零點的個數(shù)．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,分類討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論a＞0，a≤0，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，注意定義域；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，e）上的最小值，最后討論最小值的符號，從而確定函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e）上的零點情況．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²-alnx的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x-

a

x

=

2x2-a

x

（x＞0），
若a≤0，則f′（x）＞0，即有f（x）在（0，+∞）上遞增；
若a＞0，由f′（x）＞0得到x＞

a 2

，由f′（x）＜0得到0＜x＜

a 2

，
即有a＞0時，f（x）的增區(qū)間為（

a 2

，+∞），減區(qū)間為（0，

a 2

）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的極小值為f（

a 2

）=

a

2

（1-ln

a

2

），也為最小值．
當(dāng)

a

2

（1-ln

a

2

）＞0，即0＜a＜2e，f（x）的最小值大于0，則y=f（x）在區(qū)間（1，e）上無零點；
當(dāng)

a

2

（1-ln

a

2

）=0，即a=2e，即有1＜

a 2

＜e，而f（1）=1＞0，f（

a 2

）=0，f（e）＞0，
則f（x）在（1，e）上有一個零點；
當(dāng)

a

2

（1-ln

a

2

）＜0，即a＞2e，即有

a 2

＞

e

＞1，若e＞

a 2

＞

e

＞1
而f（1）=1＞0，f（

a 2

）＜0，f（e）＞0，則f（x）在（1，e）上有兩個零點；
若

a 2

＞

e

＞1，且e≤

a 2

，則f（x）在（1，e）上有無零點．
綜上，綜上所述：當(dāng)0＜a＜2e或a≥2e²時，函數(shù)f（x）無零點；
a=2e時，函數(shù)f（x）有一個零點；
當(dāng)2e＜a＜2e²時，函數(shù)f（x）有兩個零點．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查函數(shù)的零點個數(shù)的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想的合理運用．