Question

9．設(shè)a=${∫}_{0}^{π}$（sinx-1+2cos²$\frac{x}{2}$）dx，則（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶•（x²+2）的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（　　）

• A． 332
• B． -332
• C． 320
• D． -320

Answer 1

分析 根據(jù)微積分基本定理求得a的值，求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，分類討論，當(dāng)k=3時(shí)，當(dāng)k=5時(shí)，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)的值．

解答 解：a=${∫}_{0}^{π}$（sinx-1+2cos²$\frac{x}{2}$）dx=a=${∫}_{0}^{π}$（sinx+cosx）dx=（-cosx+sinx）|${\;}_{0}^{π}$=-cosπ-（-cos0）=1+1=2，
（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶•（x²+2）=（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶•（x²+2），
其中（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶的通項(xiàng)公式C₆^k2^6-k（-1）^kx^3-k，
當(dāng)3-k=0，即k=3時(shí)，為常數(shù)項(xiàng)，為C₆³2³（-1）³=-160，
當(dāng)3-k=-2時(shí)，即k=5時(shí)，為C₆⁵2^6-5（-1）⁵x^3-5=-12x^-2，
故（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶•（x²+2）的展開式中常數(shù)項(xiàng)是-160×2-12=-332，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查微積分基本定理，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．