Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，點E，F分別為AB和PD的中點．
（Ⅰ）求證：直線AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求點F到平面PEC的距離．

Answer 1

分析 （1）設PC的中點為Q，連接EQ，FQ，證明四邊形AEQF為平行四邊形，得到AF∥EQ，即可證明AF∥平面PEC．
（2）點F到平面PEC的距離等于點A到平面PEC的距離，設為d．通過V_A-PEC=V_P-AEC，求解即可．

解答 （1）證明：設PC的中點為Q，連接EQ，FQ，由題意，FQ∥DC且$FQ=\frac{1}{2}CD$，AE∥CD且$AE=\frac{1}{2}CD$，故AE∥FQ且AE=FQ，所以，四邊形AEQF為平行四邊形
所以，AF∥EQ，且EQ?平面PEC，AF?平面AEC
所以，AF∥平面PEC（6分）
（2）解：由（1），點F到平面PEC的距離等于點A到平面PEC的距離，設為d．
由條件易求$EC=\sqrt{7}$，PE=$\sqrt{7}$，PC=2$\sqrt{2}$，EQ=$\sqrt{5}$故${S_{△PEC}}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{10}$${S_{△AEC}}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
所以由V_A-PEC=V_P-AEC得$\frac{1}{3}\sqrt{10}•d=\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}•2$，
解得$d=\frac{{\sqrt{30}}}{10}$（12分）

點評 本題考查空間點線面距離的求法，等體積法的應用，直線與平面平行的判定定理的應用，考查計算能力以及邏輯推理能力．