【題目】三個(gè)圓交于一點(diǎn)，又兩兩將于點(diǎn)、、.以為圓心的一個(gè)圓與上述三個(gè)圓分別交于點(diǎn)，，，其中，點(diǎn)在不含點(diǎn)的圓上，等等.又設(shè)、、的外接圓交于一點(diǎn)， 、的外接圓交于一點(diǎn).證明：.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

以圓為基圓作反演，各點(diǎn)反演后的像仍用同一字母表示（下面出現(xiàn)的字母都是各點(diǎn)反演后的像）.則三個(gè)圓的反形為三條直線(xiàn)、、（如圖）.

只需證明反形中有.

由條件，反演后仍為、、的外接圓的交點(diǎn)，仍為、、的外接圓的交點(diǎn).

首先證明：是點(diǎn)的等角共軛點(diǎn)（即等）.

事實(shí)上，

.

設(shè)的等角共軛點(diǎn)為.則

.

所以，.

類(lèi)似得到其他兩式.

于是，.

其次，作，關(guān)于的垂足三角形、（圖）.

因，所以，、、、四點(diǎn)共圓.

同樣得到另兩個(gè)圓.

若這三個(gè)圓不重合，則其三條根軸（、、）共點(diǎn)，此時(shí)，三邊共點(diǎn)，矛盾.

于是這三個(gè)圓重合，即、、、、、六點(diǎn)共圓，設(shè)其圓心為，則在、、的中垂線(xiàn)上，這些中垂線(xiàn)平分的中點(diǎn).

由共圓知，.

則.

繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角度，再作以為中心的相似變換，使相似比為.

則，.

所以，.

顯然，.

故.

又為的中點(diǎn)，故.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）從該生產(chǎn)線(xiàn)加工的產(chǎn)品中任意抽取一件，記其數(shù)據(jù)為X，依據(jù)以下不等式評(píng)判（P表示對(duì)應(yīng)事件的概率）

①

②

③

評(píng)判規(guī)則為：若至少滿(mǎn)足以上兩個(gè)不等式，則生產(chǎn)狀況為優(yōu)，無(wú)需檢修；否則需檢修生產(chǎn)線(xiàn)，試判斷該生產(chǎn)線(xiàn)是否需要檢修；

（2）將數(shù)據(jù)不在內(nèi)的產(chǎn)品視為次品，從該生產(chǎn)線(xiàn)加工的產(chǎn)品中任意抽取2件，次品數(shù)記為Y，求Y的分布列與數(shù)學(xué)期望．

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【題目】拋物線(xiàn)上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）如圖，為拋物線(xiàn)上三點(diǎn)，且線(xiàn)段與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次組成公差為1的等差數(shù)列，若的面積是面積的，求直線(xiàn)的方程．

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（1）求A同學(xué)摸球三次后停止摸球的概率；

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（1）求奇異三角形的最小邊長(zhǎng)的最小值；

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A.8p2B.4p2

C.2p2D.p2

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