【題目】三個(gè)圓交于一點(diǎn)，又兩兩將于點(diǎn)、、.以為圓心的一個(gè)圓與上述三個(gè)圓分別交于點(diǎn)，，，其中，點(diǎn)在不含點(diǎn)的圓上，等等.又設(shè)、、的外接圓交于一點(diǎn)， 、的外接圓交于一點(diǎn).證明：.

【答案】見解析

【解析】

以圓為基圓作反演，各點(diǎn)反演后的像仍用同一字母表示（下面出現(xiàn)的字母都是各點(diǎn)反演后的像）.則三個(gè)圓的反形為三條直線、、（如圖）.

只需證明反形中有.

由條件，反演后仍為、、的外接圓的交點(diǎn)，仍為、、的外接圓的交點(diǎn).

首先證明：是點(diǎn)的等角共軛點(diǎn)（即等）.

事實(shí)上，

.

設(shè)的等角共軛點(diǎn)為.則

.

所以，.

類似得到其他兩式.

于是，.

其次，作，關(guān)于的垂足三角形、（圖）.

因，所以，、、、四點(diǎn)共圓.

同樣得到另兩個(gè)圓.

若這三個(gè)圓不重合，則其三條根軸（、、）共點(diǎn)，此時(shí)，三邊共點(diǎn)，矛盾.

于是這三個(gè)圓重合，即、、、、、六點(diǎn)共圓，設(shè)其圓心為，則在、、的中垂線上，這些中垂線平分的中點(diǎn).

由共圓知，.

則.

繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角度，再作以為中心的相似變換，使相似比為.

則，.

所以，.

顯然，.

故.

又為的中點(diǎn)，故.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司新上一條生產(chǎn)線，為保證新的生產(chǎn)線正常工作，需對(duì)該生產(chǎn)線進(jìn)行檢測，現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，測量產(chǎn)品數(shù)據(jù)，用統(tǒng)計(jì)方法得到樣本的平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，以頻率值作為概率估值．

（1）從該生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中任意抽取一件，記其數(shù)據(jù)為X，依據(jù)以下不等式評(píng)判（P表示對(duì)應(yīng)事件的概率）

①

②

③

評(píng)判規(guī)則為：若至少滿足以上兩個(gè)不等式，則生產(chǎn)狀況為優(yōu)，無需檢修；否則需檢修生產(chǎn)線，試判斷該生產(chǎn)線是否需要檢修；

（2）將數(shù)據(jù)不在內(nèi)的產(chǎn)品視為次品，從該生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中任意抽取2件，次品數(shù)記為Y，求Y的分布列與數(shù)學(xué)期望．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）如圖，為拋物線上三點(diǎn)，且線段與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次組成公差為1的等差數(shù)列，若的面積是面積的，求直線的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國計(jì)劃發(fā)射火星探測器，該探測器的運(yùn)行軌道是以火星（其半徑）的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓．如圖，已知探測器的近火星點(diǎn)（軌道上離火星表面最近的點(diǎn)）到火星表面的距離為，遠(yuǎn)火星點(diǎn)（軌道上離火星表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）到火星表面的距離為．假定探測器由近火星點(diǎn)第一次逆時(shí)針運(yùn)行到與軌道中心的距離為時(shí)進(jìn)行變軌，其中分別為橢圓的長半軸、短半軸的長，求此時(shí)探測器與火星表面的距離（精確到）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年元旦班級(jí)聯(lián)歡晚會(huì)上，某班在聯(lián)歡會(huì)上設(shè)計(jì)了一個(gè)摸球表演節(jié)目的游戲，在一個(gè)紙盒中裝有1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，A同學(xué)不放回地每次摸出1個(gè)球，若摸到黑球則停止摸球，否則就要將紙盒中的球全部摸出才停止．規(guī)定摸到紅球表演兩個(gè)節(jié)目,摸到白球或黃球表演一個(gè)節(jié)目，摸到黑球不用表演節(jié)目．

（1）求A同學(xué)摸球三次后停止摸球的概率；

（2）記X為A同學(xué)摸球后表演節(jié)目的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若一個(gè)三角形的邊長與面積都是整數(shù)，則稱為“海倫三角形”；三邊長互質(zhì)的海倫三角形，稱為“本原海倫三角形”；邊長都不是3的倍數(shù)的本原海倫三角形，稱為“奇異三角形”.

（1）求奇異三角形的最小邊長的最小值；

（2）求證：等腰的奇異三角形有無數(shù)個(gè)；

（3）問：非等腰的奇異三角形有多少個(gè)？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證；

（3）設(shè)，對(duì)于任意時(shí)，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】等腰直角三角形ABO內(nèi)接于拋物線y2＝2px(p>0)，O為拋物線的頂點(diǎn)，OA⊥OB，則△ABO的面積是(　　)

A.8p2B.4p2

C.2p2D.p2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，且公差，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列，則的所有可能值是____．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案