Question

12．已知函數(shù)y=$\frac{1}{{{2^{{x^2}+2x+2}}}}$．
（1）求函數(shù)的定義域和值域；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由指數(shù)函數(shù)的值域可得函數(shù)y=$\frac{1}{{{2^{{x^2}+2x+2}}}}$的定義域；
（2）直接利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）∵${2}^{{x}^{2}+2x+2}＞0$恒成立，∴函數(shù)y=$\frac{1}{{{2^{{x^2}+2x+2}}}}$的定義域為R；
∵x²+2x+2=（x+1）²+1≥1，∴${2}^{{x}^{2}+2x+2}≥2$，則y=$\frac{1}{{{2^{{x^2}+2x+2}}}}$∈（0，$\frac{1}{2}$]；
（2）∵函數(shù)y=x²+2x+2在（-∞，-1]上為減函數(shù)，在（-1，+∞）上為增函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得y=${2}^{{x}^{2}+2x+2}$在（-∞，-1]上為減函數(shù)，在（-1，+∞）上為增函數(shù)，
∴函數(shù)y=$\frac{1}{{{2^{{x^2}+2x+2}}}}$在（-∞，-1]上為增函數(shù)，在（-1，+∞）上為減函數(shù)．

點評 本題考查復(fù)合函數(shù)的定義域和值域的求法，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．