Question

17．如圖，已知E，F(xiàn)分別為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AA₁和CC₁上的點(diǎn)，且$\frac{AE}{A{A}_{1}}$=$\frac{{C}_{1}F}{C{C}_{1}}$=λ，λ∈（0，1），延長D₁E，D₁F與平面ABCD分別相交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求證：M，B，N三點(diǎn)共線．
（2）若四邊形BFD₁E為菱形，求λ的值，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）在BB₁上取一點(diǎn)G，使得$\frac{{{B_1}G}}{{B{B_1}}}=\frac{{{C_1}F}}{{C{C_1}}}$，證明D₁、E、B、F四點(diǎn)共面，平面D₁EF∩平面ABCD=MN，即可證明結(jié)論；
（2）證明Rt△ABE≌Rt△BCF，故AE=CF，結(jié)合AE=C₁F，知CF=C₁F，即F為CC₁中點(diǎn)，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：在BB₁上取一點(diǎn)G，使得$\frac{{{B_1}G}}{{B{B_1}}}=\frac{{{C_1}F}}{{C{C_1}}}$，
∵AA₁=BB₁=CC₁，
∴B₁G=C₁F=AE，BG=A₁E，
故${B_1}G\begin{array}{l}{∥}\\=\end{array}{C_1}F$，則四邊形B₁GC₁F為平行四邊形，
∴${B_1}{C_1}\begin{array}{l}{∥}\\=\end{array}GF$，又${B_1}{C_1}\begin{array}{l}{∥}\\=\end{array}{A_1}{D_1}$，故${A_1}{D_1}\begin{array}{l}{∥}\\=\end{array}GF$，
則四邊形A₁D₁FG為平行四邊形，∴${D_1}F\begin{array}{l}{∥}\\=\end{array}{A_1}G$，
∵BG=A₁E且BG∥A₁E，故四邊形A₁EBG為平行四邊形，則${A_1}G\begin{array}{l}{∥}\\=\end{array}EB$，
結(jié)合${D_1}F\begin{array}{l}{∥}\\=\end{array}{A_1}G$，知${D_1}F\begin{array}{l}{∥}\\=\end{array}EB$，故四邊形D₁EBF為平行四邊形，
∴D₁、E、B、F四點(diǎn)共面，即B∈平面D₁EF，
又M∈D₁E，${D_1}E\begin{array}{l}?\\≠\end{array}$平面D₁EF，N∈D₁F，${D_1}F\begin{array}{l}?\\≠\end{array}$平面D₁EF，故M，N∈平面D₁EF，
同時M∈DA，$DA\begin{array}{l}?\\≠\end{array}$平面ABCD，N∈DC，$DC\begin{array}{l}?\\≠\end{array}$平面ABCD，故M，N∈平面ABCD，
故平面D₁EF∩平面ABCD=MN，
結(jié)合B∈平面D₁EF，且B∈平面ABCD得B∈平面D₁EF∩平面ABCD，即B∈MN，
∴M，B，N三點(diǎn)共線…8分
（2）$λ=\frac{1}{2}$，理由如下：
由（1）知四邊形D₁EBF為平行四邊形，若四邊形BFD₁E為菱形，則必有BE=BF，
在Rt△ABE和Rt△BCF中AB=BC，BE=BF，則Rt△ABE≌Rt△BCF，故AE=CF，
結(jié)合AE=C₁F，知CF=C₁F，即F為CC₁中點(diǎn)，
故$λ=\frac{AE}{{A{A_1}}}=\frac{{{C_1}F}}{{C{C_1}}}=\frac{1}{2}$…13分．

點(diǎn)評 本題考查平面的基本性質(zhì)，考查三角形全等的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．