Question

6．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x（1+mx），x≥0\\ x（1-mx），x＜0\end{array}\right.$，若關(guān)于x的不等式f（x）＞f（x+m）的解集為M，且[-1，1]⊆M，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． [-1，0]
• B． $（-1，1-\sqrt{2}）$
• C． $（1-\sqrt{2}，0）$
• D． $（1+\sqrt{2}，+∞）$

Answer 1

分析 由題意可得，當m=0，顯然不滿足條件；在[-1，1]上，函數(shù)y=f（x-m）的圖象應在函數(shù)y=f（x）的圖象的下方，

解答 解：∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x（1+mx），x≥0\\ x（1-mx），x＜0\end{array}\right.$，若①若m=0，則不等式即f（x）＞f（x ），顯然不成立．
②若m＞0，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，如右圖所示：
由f（x）＞f（x+m），可得x＞x+m，m＜0，故m無解．
③若m＜0，函數(shù)y=f（x+m）的圖象是把函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移-m個單位得到的，
由題意可得，當x∈[-1，1]時，函數(shù)y=f（x+m）的圖象在函數(shù) y=f（x）的圖象的下方，
如下圖所示：

只要f（-1+m）＜f（-1）即可，即（-1+m）[1-m（-1+m）]＜-1•（1+m），
即 m+2m²-m³＜0，即 1+2m-m²＞0，求得1-$\sqrt{2}$＜m＜1+$\sqrt{2}$，
綜合可得，1-$\sqrt{2}$＜m＜0，
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式等知識，考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，屬于中檔題．