Question

8．在平行四邊形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，矩形ADEF中DE=1，且面ADEF⊥面ABCD．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面ECD；
（Ⅱ）求D點到面CEB的距離．

Answer 1

分析 （1）四邊形ADEF為正方形，可得ED⊥AD，利用面面垂直的性質定理可得ED⊥平面ABCD，ED⊥BD．即可證明．
（2）利用V_D-CBE=_E-CBD，即可得出．

解答 （1）證明：∵四邊形ADEF為正方形，∴ED⊥AD，
又∵平面ADEF⊥平面ABCD，
平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD．
又∵BD⊥CD，ED∩CD=D，∴BD⊥平面ECD．
（2）解：CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，又∵矩形ADEF中，DE=1
∴BC=2，CE=$\sqrt{2}$，BE=2．
∴過B作CE的垂線交CE與M，CM=$\frac{\sqrt{14}}{2}$．
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{14}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
Rt△BCD的面積等于$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由得（1）ED⊥平面ABCD，
∴點E到平面BCD的距離為ED=2，
∴V_D-CBE=_E-CBD，∴$\frac{1}{3}×$$\frac{1}{2}×1×2\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{7}}{2}×h$，解得h=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
即點D到平面CEB的距離為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查了空間位置關系、空間距離、體積計算公式、線面面面垂直的判定與性質定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．