Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a_n+1=2a_n，設(shè)b_n-2=3log₂a_n（n∈N₊）．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{|a_n-b_n|}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列的定義和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求出{b_n}的通項(xiàng)公式，
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)，需要分段求和，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁=1，且a_n+1=2a_n，
∴數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1，
∵b_n-2=3log₂a_n，
∴b_n=3log₂2^n-1+2=3n-1，
（Ⅱ）∵{a_n}中的各項(xiàng)分別為：1，2，4，8，16，…，2^n-1，
{b_n}中的各項(xiàng)分別為2，5，8，11，14，…3n-1，
∴當(dāng)n≤4時(shí)，S_n=$\sum_{i=1}^{n}$||a_i-b_i|=$\sum_{i=1}^{n}$（3i-1-2^i-1）=$\frac{3{n}^{2}+n+2}{2}$-2ⁿ，
當(dāng)n＞4時(shí)，S_n=$\sum_{i=1}^{n}$||a_i-b_i|=|1-2|+|2¹-5|+|2²-8|+|2³-11||+|2⁴-14|+…+|2^n-1-（3n-1）|=1+3+4+3+2⁴-14+…+2^n-1-（3n-1）
=11+$\frac{{2}^{4}（1-{2}^{n-4}）}{1-2}$-14（n-4）-3×$\frac{（n-5）（n-4）}{2}$，
=2ⁿ-$\frac{3{n}^{2}+n-42}{2}$
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3{n}^{2}+n+2}{2}-{2}^{n}，n≤4}\\{{2}^{n}-\frac{3{n}^{2}+n-42}{2}，n＞4}\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的求法，和等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．