Question

13．已知函數f（x）=$\sqrt{4+{x}^{2}}$，則?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，$\frac{|f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）|}{|{x}_{1}-{x}_{2}|}$的取值范圍是[0，1）．

Answer 1

分析 ?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，$\frac{|f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）|}{|{x}_{1}-{x}_{2}|}$的取值范圍，轉化為利用導數求切線的斜率，即可得出．

解答 解：f′（x）=$\frac{x}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$，
x=0時，f′（0）=0；
x＞0時，f′（x）=$\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{{x}^{2}}+1}}$∈（0，1）；
x＜0時，f′（x）=-$\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{{x}^{2}}+1}}$∈（-1，0），
綜上可得：f′（x）∈[0，1）．
即?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，$\frac{|f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）|}{|{x}_{1}-{x}_{2}|}$的取值范圍是[0，1）．
故答案為：[0，1）．

點評 本題考查了利用導數求切線的斜率、割線的斜率、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．