Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow$=（cosβ，sinβ），且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿(mǎn)足關(guān)系|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$|（k為正數(shù)）．
（1）求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的數(shù)量積用k表示的解析式f（k）．
（2）$\overrightarrow{a}$能否與$\overrightarrow$垂直？$\overrightarrow{a}$能否與$\overrightarrow$平行？若不能，說(shuō)明理由；若能，求出相應(yīng)的k值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)，求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的解析式，即可得出函數(shù)f（k）；
（2）根據(jù)f（k）的最小值得出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$≠0，即$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不垂直；當(dāng)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$平行時(shí)，利用平面向量的坐標(biāo)表示求出對(duì)應(yīng)k的值，即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow$=（cosβ，sinβ），
∴|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，
∵|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$|，（k為正實(shí)數(shù)）．
∴k²${\overrightarrow{a}}^{2}$+2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=3（${\overrightarrow{a}}^{2}$-2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+k²${\overrightarrow}^{2}$），
化為k²+2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+1=3-6k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+3k²，
化為∴8k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2k²+2，
f（k）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$；
（2）∵k＞0，∴f（k）=$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$≥$\frac{2k}{4k}$=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)，f（k）取得最小值為$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$≠0，即$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不能垂直；
當(dāng)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$平行時(shí)，cosαsinβ-sinαcosβ=0，
∴sin（α-β）=0，
∴α-β=nπ，n∈Z；
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）=$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$≥$\frac{1}{2}$，
∴令$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$=1，即k²-4k+1=0，
解得k=2+$\sqrt{3}$或k=2-$\sqrt{3}$，
即當(dāng)k=2+$\sqrt{3}$或k=2-$\sqrt{3}$時(shí)，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$平行．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)、模長(zhǎng)公式的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了推理能力和計(jì)算能力，是中檔題目．