【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn),離心率為.若是橢圓上的不同的兩點(diǎn), 的面積記為.

（I）求橢圓的方程;

（II）設(shè)直線的方程為, , ,求的值;

（III）設(shè)直線, 的斜率之積等于,試證明：無(wú)論如何移動(dòng),面積保持不變.

【答案】（I）；（II）；（III）詳見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(I)利用列方程,求出的值,由此得到橢圓方程.(II)聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,求得交點(diǎn)坐標(biāo),利用點(diǎn)到直線距離公式求得三角形的高,由此得到三角形面積的表達(dá)式,并由此求得的值.(III)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,寫(xiě)出韋達(dá)定理,代入向量運(yùn)算,利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式求得面積的表達(dá)式,化簡(jiǎn)得到面積保持不變.

試題解析：

（I）由題知,

解得,

所以橢圓的方程為.

（II）法1:由得點(diǎn)到直線的距離所以的面積即解得

（III）橢圓方程為,

過(guò)兩點(diǎn)的直線的方程,其中, ,

則,

得,

,,

因?yàn)?/span>,

所以.

則,

坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為,

所以,

所以無(wú)論如何移動(dòng),面積保持不變. 的值為.

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（1）用莖葉圖表示甲，乙兩個(gè)成績(jī)；并根據(jù)莖葉圖分析甲、乙兩人成績(jī)；

（2）分別計(jì)算兩個(gè)樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，并根據(jù)計(jì)算結(jié)果估計(jì)哪位運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)比較穩(wěn)定．

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