Question

14．函數(shù)y=f（x）定義域是D，若對任意x₁，x₂∈D，當(dāng)x₁＜x₂時，都有f（x₁）≤f（x₂），則稱函數(shù)f（x）在D上為非減函數(shù)，設(shè)函數(shù)y=f（x）在[0，1]上為非減函數(shù)，滿足條件：①f（0）=0；②f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x）；③f（1-x）=1-f（x）；則f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{2016}$）=$\frac{65}{128}$．

Answer 1

分析 由已知條件求出$f（\frac{1}{3}）$，$f（\frac{1}{2189}）=f（\frac{1}{1458}）=\frac{1}{128}$，結(jié)合$\frac{1}{2189}＜\frac{1}{2016}＜$$\frac{1}{1458}$及非減函數(shù)概念得f（$\frac{1}{2016}$），則答案可求．

解答 解：由③，令x=0，則f（1）=1-f（0）=1，
由②，令x=1，則f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{2}$，
$f（\frac{1}{9}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{3}）=\frac{1}{4}$，$f（\frac{1}{27}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{9}）=\frac{1}{8}$，$f（\frac{1}{81}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{27}）=\frac{1}{16}$，$f（\frac{1}{243}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{81}）=\frac{1}{32}$，
$f（\frac{1}{729}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{243}）=\frac{1}{64}$，$f（\frac{1}{2189}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{729}）=\frac{1}{128}$．
由③，令x=$\frac{1}{2}$，則f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
$f（\frac{1}{6}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{4}$，$f（\frac{1}{18}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{6}）=\frac{1}{8}$，$f（\frac{1}{54}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{18}）=\frac{1}{16}$，$f（\frac{1}{162}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{54}）=\frac{1}{32}$，
$f（\frac{1}{486}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{162}）=\frac{1}{64}$，$f（\frac{1}{1458}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{486}）=\frac{1}{128}$．
∵$\frac{1}{2189}＜\frac{1}{2016}＜$$\frac{1}{1458}$，
∴f（$\frac{1}{2016}$）=$\frac{1}{128}$．
∴f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{2016}$）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{128}=\frac{65}{128}$．
故答案為：$\frac{65}{128}$．

點評 本題考查了滿足某些條件的非減函數(shù)，恰當(dāng)?shù)娜≈岛屠�用條件非減函數(shù)是解決此題的關(guān)鍵，是中檔題．