【題目】已知雙曲線:的焦距為,直線()與交于兩個不同的點、,且時直線與的兩條漸近線所圍成的三角形恰為等邊三角形.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若坐標原點在以線段為直徑的圓的內部,求實數的取值范圍;
(3)設、分別是的左、右兩頂點,線段的垂直平分線交直線于點,交直線于點,求證:線段在軸上的射影長為定值.
【答案】(1);(2);(3)證明見解析
【解析】
(1)求得雙曲線的,由等邊三角形的性質可得,的方程,結合,,的關系求得,,進而得到雙曲線的方程;
(2)設,,,,聯(lián)立直線和,應用韋達定理和弦長公式,設的中點為,求得的坐標,由題意可得,應用兩點的距離公式,解不等式可得所求范圍;
(3)求得,的坐標和的坐標,求得的垂直平分線方程和的方程,聯(lián)立解得的坐標,求出,即可得證.
解:(1)當直線與的兩條漸近線圍成的三角形恰為等邊三角形,由根據雙曲線的性質得,,又焦距為,則,
解得,,則所求雙曲線的方程為.
(2)設,,由,得,
則,,且,
又坐標原點在以線段為直徑的圓內,則,即,
即,即,
則, 即,則或,
即實數的取值范圍.
(3)線段在軸上的射影長是. 設,由(1)得點,
又點是線段的中點,則點,
直線的斜率為,直線的斜率為 ,又,
則直線的方程為,即,
又直線的方程為,聯(lián)立方程,
消去化簡整理,得,又,
代入消去,得,
即,則,
即點的橫坐標為,
則. 故線段在軸上的射影長為定值.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,ADC=PAB=90°,BC=CD=AD.E為棱AD的中點,異面直線PA與CD所成的角為90°.
(I)在平面PAB內找一點M,使得直線CM∥平面PBE,并說明理由;
(II)若二面角P-CD-A的大小為45°,求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.
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【題目】在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB=1,AA1=2,E,F,G分別是棱AA1,AC和A1C1的中點,以為正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標系F-xyz.
(1)求異面直線AC與BE所成角的余弦值;
(2)求二面角F-BC1-C的余弦值.
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【題目】某地實行垃圾分類后,政府決定為三個小區(qū)建造一座垃圾處理站M,集中處理三個小區(qū)的濕垃圾.已知在的正西方向,在的北偏東方向,在的北偏西方向,且在的北偏西方向,小區(qū)與相距與相距.
(1)求垃圾處理站與小區(qū)之間的距離;
(2)假設有大、小兩種運輸車,車在往返各小區(qū)、處理站之間都是直線行駛,一輛大車的行車費用為每公里元,一輛小車的行車費用為每公里元(其中為滿足是內的正整數) .現有兩種運輸濕垃圾的方案:
方案1:只用一輛大車運輸,從出發(fā),依次經再由返回到;
方案2:先用兩輛小車分別從運送到,然后并各自返回到,一輛大車從直接到再返回到.試比較哪種方案更合算?請說明理由. 結果精確到小數點后兩位
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【題目】已知拋物線C:()的焦點F到準線l的距離為2,直線過點F且與拋物線交于M、N兩點,直線過坐標原點O及點M且與l交于點P,點Q在線段上.
(1)求直線的斜率;
(2)若,,成等差數列,求點Q的軌跡方程.
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【題目】如圖所示,將方格紙中每個小方格染三種顏色之一,使得每種顏色的小方格的個數相等.若相鄰兩個小方格的顏色不同,稱他們的公共邊為“分割邊”,則分割邊條數的最小值為( )
A.33B.56C.64D.78
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【題目】在中,,分別為,的中點,,如圖1.以為折痕將折起,使點到達點的位置,如圖2.
如圖1 如圖2
(1)證明:平面平面;
(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值。
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【題目】已知動點P到點的距離與它到直線l:的距離d的比值為,設動點P形成的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)過點的直線與曲線C交于A,B兩點,設,,過A點作,垂足為,過B點作,垂足為,求的取值范圍.
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