Question

6．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+acost\\ y=asint\end{array}$（t為參數，a＞0），在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₂：ρ=2sinθ．
（1）求曲線C₁的普通方程，并將C₁的方程化為極坐標方程；
（2）直線C₃的極坐標方程為θ=$\frac{π}{4}$，若曲線C₁與C₂的公共點都在C₃上，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉化方法求曲線C₁的普通方程，并將C₁的方程化為極坐標方程；
（2）曲線C₁與C₂的公共點的極坐標滿足方程組$\left\{\begin{array}{l}{ρ^2}-2ρcosθ+1-{a^2}=0\\ ρ=2sinθ\end{array}\right.$，若ρ≠0，由方程組得4sin²θ-4sinθcosθ+1-a²=0，由已知$θ=\frac{π}{4}$，即可求a的值．

解答 解：（1）消去參數t得到C₁的普通方程（x-1）²+y²=a²，將x=ρcosθ，y=sinθ代入C₁的普通方程，得到C₁的極坐標方程，ρ²-2ρcosθ+1-a²=0．
（2）曲線C₁與C₂的公共點的極坐標滿足方程組$\left\{\begin{array}{l}{ρ^2}-2ρcosθ+1-{a^2}=0\\ ρ=2sinθ\end{array}\right.$，若ρ≠0，
由方程組得4sin²θ-4sinθcosθ+1-a²=0，由已知$θ=\frac{π}{4}$，可解得1-a²=0，
根據a＞0，得到a=1，當a=1時，極點也為C₁、C₂的公共點都在C₃上，所以a=1．

點評 本題考査參數方程和極坐標方程的應用，考查了極坐標與直角坐標的互化，是基礎題．