Question

11．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為DD₁的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)，AB=1．
（1）求證：B₁O⊥平面ACM；
（2）求三棱錐O-AB₁M的體積．

Answer 1

分析 （1）利用線面垂直的判定定理證明能證明B₁O⊥平面ACM．
（2）由${V}_{O-A{B}_{1}M}$=${V}_{A-O{B}_{1}M}$，利用錐體的體積公式求出三棱錐O-AB₁M的體積．

解答 證明：（1）∵AC⊥BD，DD₁⊥平面ABCD，且AC?平面ABCD，
∴AC⊥DD₁，且BD∩DD₁=D，
∴AC⊥平面BDD₁B₁，
OB₁?平面BDD₁B₁，∴B₁O⊥AC，
連結(jié)B₁M，在△B₁MO中，$M{O}^{2}={1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}$=3，
${B}_{1}{O}^{2}={2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}=6$，${B}_{1}{M}^{2}={1}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}=9$，
∴${B}_{1}{M}^{2}=M{O}^{2}+{B}_{1}{O}^{2}$，
∴B₁O⊥OM…（10分）
又OM∩AC=O，∴B₁O⊥平面AMC．
解：（2）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為DD₁的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)，
∴AC⊥BD，AC⊥DM，
∵BD∩DM=D，∴AO⊥平面OB₁M，
∴三棱錐O-AB₁M的體積：
${V}_{O-A{B}_{1}M}$=${V}_{A-O{B}_{1}M}$=$\frac{1}{3}×AO×{S}_{△O{B}_{1}M}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．