Question

6．已知m∈R，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|2x+1|，x＜1}\\{{log}_{2}（x-1），x＞1}\end{array}\right.$，g（x）=x²-2x+2m-1，下列敘述中正確的有①②④
①函數(shù)y=f（f（x））有4個零點；
②若函數(shù)y=g（x）在（0，3）有零點，則-1＜m≤1；
③當m≥-$\frac{1}{8}$時，函數(shù)y=f（x）+g（x）有2個零點；
④若函數(shù)y=f（g（x））-m有6個零點則實數(shù)m的取值范圍是（0，$\frac{3}{5}$）．

Answer 1

分析 對于①根據(jù)函數(shù)的零點定理求出x=0或x=-1．或x=3，或x=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故可判斷；
對于②當g（x）在（0，3）上有一個零點時，求出m的值．當g（x）在（0，3）上有兩個零點時，求出m的取值范圍，再取并集即得所求．
對于③，取m=-$\frac{1}{8}$，利用數(shù)形結合的思想即可判斷．
對于④由于函數(shù)f（x），g（x）=x²-2x+2m-1．可得當g（x）=（x-1）²+2m-2＜1，即（x-1）²＜3-2m時，y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x-1）²+4m-3|．當g（x）=（x-1）²+2m-2＞1，即（x-1）²＞3-2m時，則y=f（g（x））=log₂[（x-1）²+2m-3]．再對m分類討論，利用直線y=m與函數(shù)
y=f（g（x））圖象的交點必須是6個即可得出

解答 解：對于①y=f（f（x））=0，
∴l(xiāng)og₂（f（x））=0，或|2f（x）|+1|=0，
∴f（x）=1，或f（x）=-$\frac{1}{2}$，
∴|2x+1|=1，或log₂（x-1）=1或log₂（x-1）=-$\frac{1}{2}$，
解得x=0或x=-1．或x=3，或x=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故函數(shù)y=f（f（x））有4個零點，故正確；
對于②g（x）=x²-2x+2m-1，在（0，3）有零點，
當g（x）在（0，3）上有一個零點時
∴g（0）g（3）＜0，
∴（2m-1）（9-6+2m-1）＜0，
即-1＜m＜$\frac{1}{2}$，
或△=4-4（2m-1）=0，解得m=1，
當g（x）在（0，3）上有兩個零點時，$\left\{\begin{array}{l}{△=4-4（2m-1）＞0}\\{g（0）＞0}\\{g（3）＞0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}$＜m＜1，
當m=$\frac{1}{2}$，g（x）=x²-2x=0，解得x=2，
綜上所述：函數(shù)y=g（x）在（0，3）有零點，則-1＜m≤1，故②正確，
對于③，若m=-$\frac{1}{8}$時，分別畫出y=f（x）與y=-g（x）的圖象，如圖所示，

由圖象可知，函數(shù)y=f（x）+g（x）有3個零點，故③不正確．
對于④∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|2x+1|，x＜1}\\{{log}_{2}（x-1），x＞1}\end{array}\right.$，g（x）=x²-2x+2m-1．
∴當g（x）=（x-1）²+2m-2＜1時，即（x-1）²＜3-2m時，則y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x-1）²+4m-3|．
當g（x）=（x-1）²+2m-2＞1時，即（x-1）²＞3-2m時，則y=f（g（x））=log₂[（x-1）²+2m-3]．
①當3-2m≤0即m≥$\frac{3}{2}$時，y=m只與y=f（g（x））=log₂[（x-1）2+2m-3]的圖象有兩個交點，不滿足題意，應該舍去．
②當m＜$\frac{3}{2}$時，y=m與y=f（g（x））=log₂[（x-1）2+2m-3]的圖象有兩個交點，需要直線y=m與函數(shù)
y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x-1）²+4m-3|的圖象有四個交點時才滿足題意．
∴0＜m＜3-4m，又m＜$\frac{3}{2}$，解得0＜m＜$\frac{3}{5}$．
綜上可得：m的取值范圍是0＜m＜$\frac{3}{5}$．
故④正確，
故答案為：①②④．

點評 本題考查了分段函數(shù)的圖象與性質、含絕對值函數(shù)的圖象、對數(shù)函數(shù)的圖象、函數(shù)圖象的交點的與函數(shù)零點的關系，考查了推理能力與計算能力、數(shù)形結合的思想方法、推理能力與計算能力，屬于難題．