Question

如圖，在四棱錐A—BCC1B1中，等邊三角形ABC所在平面與正方形BCC1B1所在平面互相垂直，D為CC1的中點．

(1)求證：BD⊥AB1；

(2)求二面角B—AD—B1的余弦值．

 

Answer 1

（1）見解析 （2）

【解析】(1)證明　取BC中點O，連接AO，OB1．

△ABC為正三角形，∴AO⊥BC．

∵平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面

BCC1B1＝BC，AO?平面ABC，

∴AO⊥平面BCC1B1，∴AO⊥BD．

∵正方形BCC1B1中，O，D分別為BC，CC1的中點，

∴OB1⊥BD．又AO∩OB1＝O，

BD⊥平面AOB1，∴BD⊥AB1．

(2)解　取B1C1中點E，以O為原點，分別以、、的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系O—xyz，不妨設BC＝2．

由題意知A(0,0，)，B(1,0,0)，D(－1,1,0)，B1(1,2,0)，則＝(1,0，－)，＝(－2,1,0)，＝(1，－1，)，＝(2,1,0)，

設n＝(x，y，z)是平面ADB1的法向量，

則，

即，

可取n＝(－1,2，)，

同理，設m是平面ABD的法向量，可取m＝(1,2，)，

∴cos〈n，m〉＝＝，

∴二面角B—AD—B1的余弦值為．