Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將曲線C₁：x²+y²=1上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的$\sqrt{3}$倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍后，得到曲線C₂；在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程是ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（Ⅰ）寫(xiě)出曲線C₂的參數(shù)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）在曲線C₂上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線l的距離d最大，并求出此最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出曲線C₂的普通方程，寫(xiě)出它的參數(shù)方程，曲線C₂的參數(shù)方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化，即可求出直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，得到直線l的距離d的表達(dá)式，然后求解最大值，并求出此最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，曲線C₁：x²+y²=1上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的$\sqrt{3}$倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍后，得到曲線C₂方程為${（\frac{x}{{\sqrt{3}}}）^2}+{（\frac{y}{2}）^2}=1$，參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosφ\(chéng)\ y=2sinφ\(chéng)end{array}\right.$（φ為參數(shù)）．直線l的極坐標(biāo)方程是ρ（2cosθ-sinθ）=6．可得2ρcosθ-ρsinθ=6．
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為2x-y-6=0．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)$P（\sqrt{3}cosφ，2sinφ）$，則點(diǎn)P到直線l的距離為$d=\frac{{|2\sqrt{3}cosφ-2sinφ-6|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|4sin（{{60}°}-φ）-6|}}{{\sqrt{5}}}$，
多以當(dāng)sin（60°-φ）=-1時(shí)，d取最大值$2\sqrt{5}$，此時(shí)取φ=150°，點(diǎn)P坐標(biāo)是$（-\frac{3}{2}，1）$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化，考查橢圓的參數(shù)方程以及普通方程的互化，考查計(jì)算能力．