Question

4．已知a，b，c分別是△ABC的中角A，B，C的對邊，acsinA+4sinC=4csinA．
（1）求a的值；
（2）圓O為△ABC的外接圓（O在△ABC內(nèi)部），△OBC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b+c=4，判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦定理求得a的值．
（2）設(shè)BC的中點(diǎn)為D，根據(jù)△OBC的面積為 $\frac{1}{2}$•BC•OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得OD的值，可得∠A=60°，再利用余弦定理求得b=c=2，從而判斷△ABC為等邊三角形．

解答 解：（1）△ABC的中，∵acsinA+4sinC=4csinA，∴a²c+4c=4ac，∴a=2．
（2）∵圓O為△ABC的外接圓（O在△ABC內(nèi)部），設(shè)BC的中點(diǎn)為D，
∵△OBC的面積為 $\frac{1}{2}$•BC•OD=$\frac{1}{2}$•a•OD=$\frac{1}{2}$•2•OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即△ABC的外接圓的半徑r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴∠BOC=120°，∴∠A=60°．
∵b+c=4，由余弦定理可得cosA=$\frac{1}{2}$=$\frac{^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{（b+c）}^{2}-2bc-4}{2bc}$=$\frac{16-2bc-4}{2bc}$，
求得bc=4，故b=c=2，故此時(shí)，△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．