Question

8．在一次考試中，某班學習小組的五名學生的數(shù)學、物理成績?nèi)绫恚?br />

學生	A1	A2	A3	A4	A5
數(shù)學	89	91	93	95	97
物理	87	89	89	92	93

（1）要在這五名學生中選2名參加一項活動，求選中的同學中至少有一人的數(shù)學成績不低于95分的概率．
（2）請在所給的直角坐標系中畫出它們的散點圖，并求出這些數(shù)據(jù)的線性回歸直線方程．
（3）若該學習小組中有一人的數(shù)學成績是92分，試估計其物理成績（結(jié)果保留整數(shù)）．
參考公式回歸直線的方程是：y=bx+a，其中對應(yīng)的值．b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）用列舉法可得從5名學生中任取2名學生的所有情況和其中至少有一人物理成績不低于95（分）的情況包含的事件數(shù)目，由古典概型公式，計算可得答案；
（2）把所給的五組數(shù)據(jù)作為五個點的坐標描到直角坐標系中，得到散點圖，再根據(jù)所給的數(shù)據(jù)先做出數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即樣本中心點，根據(jù)最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程；
（3）將x=92代入線性回歸方程，求出即可．

解答 解：（1）從5名學生中任取2名學生的所有情況為：
（A₄，A₅）、（A₄，A₁）、（A₄，A₂）、（A₄，A₃）、（A₅，A₁）、
（A₅，A₂）、（A₅，A₃）、（A₁，A₂）、（A₁，A₃）、（A₂，A₃）共種情10況．
其中至少有一人數(shù)學成績不低于9（5分）的情況有：
（A₄，A₅）、（A₄，A₁）、（A₄，A₂）、（A₄，A₃）、（A₅，A₁）、
（A₅，A₂）、（A₅，A₃）共7種情況，
故從5人中選2人，選中的學生的數(shù)學成績至少有一人的成績不低于9（5分）的概率P=$\frac{7}{10}$…（4分）
（2）散點圖如圖所示．
…（6分）
可求得：$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（89+91+93+95+97）=93，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（87+89+89+92+93）=90，
$\sum_{i=1}^{5}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=30，$\sum_{i=1}^{5}$${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$=（-4）²+（-2）²+0²+2²+4²=40，∴b=0.75，a=20.25，
故y關(guān)于x的線性回歸方程是：$\widehat{y}$=0.75x+20.25…（10分）
（3）將x=92代入線性回歸方程，可得y=89.25≈89．…（12分）

點評 本題主要考查了古典概型和線性回歸方程等知識，考查了學生的數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識．