Question

17．已知點(diǎn)M（4，0），點(diǎn)P在曲線y²=8x上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在曲線（x-2）²+y²=1上運(yùn)動(dòng)，則$\frac{|PM{|}^{2}}{|PQ|}$取到最小值時(shí)P的橫坐標(biāo)為2．

Answer 1

分析 設(shè)圓心為F，則容易知道F為拋物線y²=8x的焦點(diǎn)，并且$\frac{|PM{|}^{2}}{|PQ|}$最小時(shí)，PM經(jīng)過圓心F，設(shè)P（x，y），則：
|PM|²=（x-4）²+y²=（x-4）²+8x=x²+16，|PQ|=x+2+1=x+3，所以$\frac{|PM{|}^{2}}{|PQ|}$=$\frac{{x}^{2}+16}{x+3}$，求$\frac{{x}^{2}+16}{x+3}$的最小值即可．

解答 解：如圖，設(shè)圓心為F，則F為拋物線y²=8x的焦點(diǎn)，該拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2，設(shè)P（x，y），
由拋物線的定義：|PF|=x+2，要使$\frac{|PM{|}^{2}}{|PQ|}$最小，則|PQ|需最大，如圖，|PQ|最大時(shí)，經(jīng)過圓心F，且圓F的半徑為1，∴|PQ|=|PF|+1=x+3，且|PM|=$\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+16}$
∴$\frac{|PM{|}^{2}}{|PQ|}$=$\frac{{x}^{2}+16}{x+3}$，
令x+3=t（t≥3），則x=t-3，
∴$\frac{|PM{|}^{2}}{|PQ|}$=t+$\frac{25}{t}$-6≥4，當(dāng)t=5時(shí)取“=“；
此時(shí)x=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)公式，準(zhǔn)線方程，及拋物線的定義，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用基本不等式求函數(shù)的最值．