Question

7．已知等比數(shù)列{a_n}滿足a₁+a₄=$\frac{9}{8}$，a₁a₄=$\frac{1}{8}$，且公比q＜1
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項的和，求S₁+S₂+…+S_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可解得a₁和a₄，進而可得公比，可得通項公式；
（2）由（1）和等比數(shù)列的求和公式可得S_n，再由等差數(shù)列的求和公式和等比數(shù)列的求和公式可得．

解答 解：（1）∵等比數(shù)列{a_n}滿足a₁+a₄=$\frac{9}{8}$，a₁a₄=$\frac{1}{8}$，且公比q＜1
∴解方程組可得${a_1}=1，{a_4}=\frac{1}{8}$，∴${q^3}=\frac{1}{8}，q=\frac{1}{2}$
∴${a_n}=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$；
（2）由（1）可得${S_n}=\frac{{1-\frac{1}{2^n}}}{{1-\frac{1}{2}}}=2（1-\frac{1}{2^n}）$，
∴S₁+S₂+S₃+…+S_n=$2（1-\frac{1}{2}）+2（1-\frac{1}{2^2}）+2（1-\frac{1}{2^3}）+…+2（1-\frac{1}{2^n}）$
=$2n-2（\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}）$
=$2n-\frac{{2×\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2^n}）}}{{1-\frac{1}{2}}}$
=$2n-2（1-\frac{1}{2^n}）$
=$2（n-1）+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$

點評 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，屬基礎(chǔ)題．