Question

13．雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₂且傾斜角為60°的直線與雙曲線右支交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF₁為等腰三角形，則該雙曲線的離心率為$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)△ABF₁為等腰三角形，然后利用雙曲線的定義分別將邊長表示為a的關(guān)系，然后利用余弦定理建立a，c的方程，從而求出雙曲線的離心率．

解答 解：如圖，△ABF₁為等腰三角形，∴AF₁=AB=AF₂+F₂B，
∴AF₁-AF₂=F₂B=2a，
∵BF₁-BF₂=2a，∴BF₁=4a，
∵直線AB的傾斜角為60°，∴∠F_′F₂B=60°
∵F₁F₂=2C，在三角形F₁F₂B中，根據(jù)余弦定理得：
（4a）²=（2a）²+（2c）²-2•（2a）•2c•cos60°
整理得，3a²+ac-c²=0同除以a²得，$（\frac{c}{a}）^{2}$-$\frac{c}{a}$-3=0，
即e²-e-3=0，解得${e}_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，${e}_{2}=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$（舍）．
故答案為：$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線的性質(zhì)的合理運(yùn)用．