【題目】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為梯形，AB//CD，，AB=AD=2CD=2，△ADP為等邊三角形．

(1)當(dāng)PB長(zhǎng)為多少時(shí)，平面平面ABCD?并說(shuō)明理由；

(2)若二面角大小為150°，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，平面平面，詳見(jiàn)解析（2）

【解析】

(1)根據(jù)平面和平面垂直可得線面垂直，從而可得,利用直角三角形知識(shí)可得的長(zhǎng)；

(2)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解直線AB與平面PBC所成角的正弦值.

解：（1）當(dāng)時(shí)，平面平面，

證明如下：在中，因?yàn)?/span>，所以，

又，，所以平面，

又平面，所以平面平面；

（2）分別取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>為等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以，為的中點(diǎn)，所以,

又，所以，故為二面角的平面角，所以，

如圖，分別以的方向以及垂直于平面向上的方向作為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>，，所以，，，.

可得，，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有，

即，令，

可得，

設(shè)與平面所成角為，則有

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在2018、2019每高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷中，第22題考查坐標(biāo)系和參數(shù)方程，第23題考查不等式選講.2018年髙考結(jié)束后，某校經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn):選擇第22題的考生較多并且得分率也較高.為研究2019年選做題得分情況，該校高三質(zhì)量檢測(cè)的命題完全采用2019年高考選做題模式，在測(cè)試結(jié)束后，該校數(shù)學(xué)教師對(duì)全校高三學(xué)生的選做題得分進(jìn)行抽樣統(tǒng)計(jì)，得到兩題得分的統(tǒng)計(jì)表如下(已知每名學(xué)生只選做—道題):

第22題的得分統(tǒng)計(jì)表

得分

0

3

5

8

10

理科人數(shù)

50

50

75

125

200

文科人數(shù)

25

25

125

0

25

第23題的得分統(tǒng)計(jì)表

得分

0

3

5

8

10

理科人數(shù)

30

52

58

60

200

文科人數(shù)

5

10

10

5

70

(1)完成如下2×2列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為“選做題的選擇”與“文、理科的科類”有關(guān)；

選做22題

選做23題

總計(jì)

理科人數(shù)

文科人數(shù)

總計(jì)

(2)若以全體高三學(xué)生選題的平均得分作為決策依據(jù)，如果你是考生，根據(jù)上面統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，你會(huì)選做哪道題，并說(shuō)明理由.

附:

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車應(yīng)運(yùn)而生．某市場(chǎng)研究人員為了了解共享單車運(yùn)營(yíng)公司的經(jīng)營(yíng)狀況，對(duì)該公司最近六個(gè)月（2017年5月到2017年10月）內(nèi)在西安市的市場(chǎng)占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制了相應(yīng)的折線圖．

（1）由拆線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月度市場(chǎng)占有率與月份代碼之間的關(guān)系．求關(guān)于的線性回歸方程；

（2）公司對(duì)員工承諾如果公司的共享單車在2017年年底（12月底）能達(dá)到西安市場(chǎng)占有率的，員工每人都可以獲得年終獎(jiǎng)，依據(jù)上面計(jì)算得到回歸方程估計(jì)員工是否能得到年終獎(jiǎng)．

（參考公式：回歸直線方程為，其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)于數(shù)列，如果存在正整數(shù)，使得對(duì)一切，都成立，則稱數(shù)列為等差數(shù)列．

（1）若數(shù)列為2-等差數(shù)列，且前四項(xiàng)分別為2，-1，4，-3，求的值；

（2）若既是2-等差數(shù)列，又是3-等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]:在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，已知直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B．

(1)求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)P(1，2)，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（1）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程；

（2）過(guò)點(diǎn)任作一條直線與圓交于不同兩點(diǎn)，，且圓交軸正半軸于點(diǎn)，求證：直線與的斜率之和為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，

．

（Ⅰ）求證：CD⊥平面ADD1A1；

（Ⅱ）若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為，求k的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，點(diǎn)的軌跡為．

（1）求直線及曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）若射線與直線交于點(diǎn)，與曲線交于點(diǎn)（與原點(diǎn)不重合），求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在三棱錐P﹣ABC中，D為AB的中點(diǎn)．

（1）與BC平行的平面PDE交AC于點(diǎn)E，判斷點(diǎn)E在AC上的位置并說(shuō)明理由如下：

（2）若PA=PB，且△PCD為銳角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求證：AB⊥PC．

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