Question

3．已知等比數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，且滿足a₃+a₄=12，a₁•a₆=32，
（Ⅰ）若b_n=log₂a_n，試求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)遞增的等比數(shù)列{a_n}的公比為q，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n，再利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得b_n．
（II）a_n•b_n=（n-1）•2^n-1．利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）設(shè)遞增的等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵a₃+a₄=12，a₁•a₆=32，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（{q}^{2}+{q}^{3}）=12}\\{{a}_{1}^{2}{q}^{5}=32}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=32}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$（舍去）．
∴a_n=2^n-1．
∴b_n=log₂a_n=n-1．
（II）a_n•b_n=（n-1）•2^n-1．
∴數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和為S_n=0+2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1．
2S_n=2²+2×2³+…+（n-2）•2^n-1+（n-1）•2ⁿ，
∴-S_n=2+2²+…+2^n-1-（n-1）•2ⁿ=$\frac{2（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（n-1）•2ⁿ=（2-n）•2ⁿ-2，
∴S_n=（n-2）•2ⁿ+2．

點(diǎn)評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．