Question

12．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=4a_n+3，a₁=1．
（1）設(shè)b_n=log₂（a_n+1），求證：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（2）設(shè)c_n=$\sqrt{2（{a}_{n}+1）}$•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a_n+1=4a_n+3，構(gòu)造等比數(shù)列，求得足a_n，即可求得b_n的通項公式，由通項公式可證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）確定數(shù)列{c_n}的通項，利用錯位相減法，即可求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答 （1）證明：a_n+1=4a_n+3，
∴a_n+1+1=4（a_n+1），a₁=1，a₁+1=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是以2為首項，以4為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2•4^n-1，
a_n=2•4^n-1-1，
b_n=log₂（a_n+1）=log₂2•4^n-1=log₂2^2n-1=2n-1，
∴b_n=2n-1，
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列；
（2）解：c_n=$\sqrt{2（{a}_{n}+1）}$•b_n=（2n-1）•2ⁿ，
數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，T_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
2T_n=2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴兩式相減：-T_n=2+2•2²+2•2³+2•2⁴+…+2•2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
=2ⁿ⁺²-2-4-（2n-1）2ⁿ⁺¹，
∴T_n=2ⁿ⁺¹（2n-3）+6．

點評 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查數(shù)列的通項與求和，考查錯位相減法，屬于中檔題．