Question

19．如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，且AD：DC=1：2，AE：AB=2：3，BD與CE相交于點F．
（Ⅰ）證明：A，B，C，D四點共圓；
（Ⅱ）若BC=2，求△AEF外接圓的半徑．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：△BAD≌△CBE，可得∠ADB=∠BEC，∠ADF+∠AEF=π，即可證明A，B，C，D四點共圓；
（Ⅱ）取AE的中點G，連接GD，證明點G是△AED外接圓的圓心，且圓G的半徑為$\frac{2}{3}$，利用A，E，F(xiàn)，D四點共圓，即可求△AEF外接圓的半徑．

解答 （Ⅰ）證明：∵AE=$\frac{2}{3}$AB，∴BE=$\frac{1}{3}A$B．
又∵AD=$\frac{1}{3}$AC，AB=AC，∴AD=BE．
又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE，
∴△BAD≌△CBE，∴∠ADB=∠BEC，
∴∠ADF+∠AEF=π，
∴A，E，F(xiàn)，D四點共圓．
（Ⅱ）解：如圖所示，取AE的中點G，連接GD，則AG=GE=$\frac{1}{2}$AE．
∵AE=$\frac{2}{3}$AB，∴AG=GE=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{2}{3}$．
∵AD=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{2}{3}$，∠DAE=60°，
∴△AGD為正三角形，
∴GD=AG=AD=$\frac{2}{3}$，即GA=GE=GD=$\frac{2}{3}$，
所以點G是△AED外接圓的圓心，且圓G的半徑為$\frac{2}{3}$．
由于A，E，F(xiàn)，D四點共圓，即A，E，F(xiàn)，D四點共圓G，其半徑為$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查四點共圓的證明，考查圓的半徑，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．