Question

9．如圖所示，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC為正三角形，PA=AB，E是PC的中點(diǎn)，則異面直線AE和PB所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 取BC的中點(diǎn)F，連接EF，AF，得到∠AEF或其補(bǔ)角就是異面直線AE和PB所成角，由此能求出異面直線AE和PB所成角的余弦值．

解答 解：取BC的中點(diǎn)F，連接EF，AF
則EF∥PB，
∴∠AEF或其補(bǔ)角就是異面直線AE和PB所成角，
∵△ABC為正三角形，∴∠BAC=60°．
設(shè)PA=AB=2a，PA⊥平面ABC，
∴$AF=\sqrt{3}a，AE=\sqrt{2}a，EF=\sqrt{2}a$，
∴$cos∠AEF=\frac{{{{（\sqrt{2}a）}^2}+{{（\sqrt{2}a）}^2}-{{（\sqrt{3}a）}^2}}}{{2×\sqrt{2}a×\sqrt{2}a}}=\frac{1}{4}$．
∴異面直線AE和PB所成角的余弦值為$\frac{1}{4}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．