Question

6．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²+x，其中a為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最值；
（2）若函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在區(qū)間（1，e）內(nèi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的最值；
（2）若函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在區(qū)間（1，e）內(nèi)有零點(diǎn)，可得函數(shù)f（x）=lnx-ax²+x在區(qū)間（1，e）內(nèi)有零點(diǎn)，令f（x）=0，可得a=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，確定單調(diào)性，即可求a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-x²+x，
∴f′（x）=$\frac{-（x-1）（2x+1）}{x}$，
0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；x＞1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，也是最大值f（1）=0，無最小值；
（2）函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在區(qū)間（1，e）內(nèi)有零點(diǎn)，可得函數(shù)f（x）=lnx-ax²+x在區(qū)間（1，e）內(nèi)有零點(diǎn)，
令f（x）=0，可得a=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
令h（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，則h′（x）=$\frac{x+{x}^{2}lnx-{x}^{2}}{{x}^{4}}$，
在區(qū)間（1，e）內(nèi)h′（x）=$\frac{x+{x}^{2}lnx-{x}^{2}}{{x}^{4}}$＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∵h(yuǎn)（1）=1，h（e）=$\frac{1}{{e}^{2}}+\frac{1}{e}$，
∴1＜h（x）＜$\frac{1}{{e}^{2}}+\frac{1}{e}$，
∴1＜a＜$\frac{1}{{e}^{2}}+\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)的零點(diǎn)，正確構(gòu)造函數(shù)、求導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．