Question

16．設(shè)函數(shù)$f（x）={e^x}-ax-\frac{a}{2}$（x∈R，實數(shù)a∈[0，+∞），e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)，$\sqrt{e}=1.64872…$）．
（Ⅰ）若f（x）≥0在x∈R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若e^x≥lnx+m對任意x＞0恒成立，求證：實數(shù)m的最大值大于2.3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最值，問題得以解決；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)設(shè)$g（x）=\sqrt{e}x+\frac{{\sqrt{e}}}{2}-lnx（x＞0）$，利用導數(shù)求出函數(shù)的最值，即可證明．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）={e^x}-ax-\frac{a}{2}$，f（x）≥0在x∈R上恒成立，
∴a≤$\frac{{e}^{x}}{x+\frac{1}{2}}$，
設(shè)h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x+\frac{1}{2}}$，
∴h′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-\frac{1}{2}）}{（x+\frac{1}{2}）^{2}}$，
令h′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$，
當x＞$\frac{1}{2}$，即h′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
當x＜$\frac{1}{2}$，即h′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴h（x）_min=h（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$，
∴0＜a≤$\sqrt{e}$，
故a的取值范圍為$[0，\sqrt{e}]$；
（Ⅱ）設(shè)$g（x）=\sqrt{e}x+\frac{{\sqrt{e}}}{2}-lnx（x＞0）$，
∴$g'（x）=\sqrt{e}-\frac{1}{x}（x＞0）$，g'（x）＞0，可得$x＞\frac{1}{{\sqrt{e}}}$；g'（x）＜0，可得$0＜x＜\frac{1}{{\sqrt{e}}}$．
∴g（x）在（$\frac{1}{\sqrt{e}}$，+∞）上單調(diào)遞增；在$（0，\frac{1}{{\sqrt{e}}}）$上單調(diào)遞減．
∴g（x）≥g（$\frac{1}{\sqrt{e}}$）=$\frac{3+\sqrt{e}}{2}$，
∵$\sqrt{e}=1.64872…$，
∴$\sqrt{e}$＞1.6，
∴g（x）＞2.3．
由（Ⅰ）可得e^x＞$\sqrt{e}$x+$\frac{\sqrt{e}}{2}$，
∴e^x-lnx的最小值大于2.3，
故若e^x≥lnx+m對任意x＞0恒成立，則m的最大值一定大于2.3．

點評 本題考查了導數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題．