Question

18．在約束條件：$\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{y≤2}\\{x+y-1≥0}\end{array}\right.$下，目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為1，則ab的最大值等于（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{8}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)取得最大值，確定a，b的關(guān)系，利用基本不等式求ab的最大值．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分），
由z=ax+by（a＞0，b＞0），則$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，平移直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，由圖象可知當(dāng)直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$經(jīng)過點A（1，2）時直線的截距最大，此時z最大為1．
代入目標(biāo)函數(shù)z=ax+by得a+2b=1．
則1=a+2b≥2$\sqrt{2ab}$，
則ab≤$\frac{1}{8}$當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=$\frac{1}{2}$時取等號，
∴ab的最大值等于$\frac{1}{8}$，
故選：D．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及基本不等式是解決此類問題的基本方法．