Question

【題目】如圖所示，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1，E、F分別是棱AA′，CC′的中點(diǎn)，過直線EF的平面分別與棱BB′、DD′交于M、N，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個命題：
①平面MENF⊥平面BDD′B′；
②當(dāng)且僅當(dāng)x= 時，四邊形MENF的面積最�。�
③四邊形MENF周長l=f（x），x∈0，1]是單調(diào)函數(shù)；
④四棱錐C′﹣MENF的體積v=h（x）為常函數(shù)；
以上命題中真命題的序號為 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①連結(jié)BD，B′D′，則由正方體的性質(zhì)可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正確．
②連結(jié)MN，因?yàn)镋F⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可，此時當(dāng)M為棱的中點(diǎn)時，即x= 時，此時MN長度最小，對應(yīng)四邊形MENF的面積最小．所以②正確．
③因?yàn)镋F⊥MN，所以四邊形MENF是菱形．當(dāng)x∈[0， ]時，EM的長度由大變小．當(dāng)x∈[ ，1]時，EM的長度由小變大．所以函數(shù)L=f（x）不單調(diào)．所以③錯誤．
④連結(jié)C′E，C′M，C′N，則四棱錐則分割為兩個小三棱錐，它們以C′EF為底，以M，N分別為頂點(diǎn)的兩個小棱錐．因?yàn)槿�角形C′EF的面積是個常數(shù)．M，N到平面C'EF的距離是個常數(shù)，所以四棱錐C'﹣MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)，所以④正確．
所以答案是：①②④．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解命題的真假判斷與應(yīng)用的相關(guān)知識，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系，以及對平面與平面垂直的判定的理解，了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．