Question

己知函數(shù)f（x）=ax²+

1

x

（x≠0），常數(shù)a∈R．
（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）判斷a=1時函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性；
（3）當(dāng)a=0時，f（m）＜f（1+2m），求m的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）利函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷a=1時函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性；
（3）當(dāng)a=0時，根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)即可解不等式f（m）＜f（1+2m）．

解答： 解：（1）若a=0，則f（x）=ax²+

1

x

=

1

x

，則f（-x）=-f（x），此時為減函數(shù)，
若a≠0，則f（1）=a+1，f（-1）=a-1，則f（-1）≠f（1）且f（-1）≠-f（1），
則此時函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)；
（2）若a=1時，函數(shù)f（x）=x²+

1

x

，
設(shè)x₁＜x₂＜0，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁²+

1

x1

-x₂²-

1

x2

=（x₁-x₂）（x₁+x₂）+

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（x₁+x₂-

1

x1x2

），
∵x₁＜x₂＜0，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂-

1

x1x2

＜0，
∴（x₁-x₂）（x₁+x₂-

1

x1x2

）＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
則f（x₁）＜f（x₂），
即函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)遞增；
（3）當(dāng)a=0時，則f（x）=

1

x

，
則f（m）＜f（1+2m），
等價為

1

m

＜

1

1+2m

，
則等價為

m＜0 1+2m＞0

或

m＞0 1+2m＞0 m＞1+2m

或

m＜0 1+2m＜0 m＞1+2m

，
即-

1

2

＜m＜0或m＜-1，
即m的取值范圍是-

1

2

＜m＜0或m＜-1．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．