Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+a|-|x+1|．
（Ⅰ）當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時，解不等式：f（x）≤2a；
（Ⅱ）若對任意實(shí)數(shù)x，f（x）≤2a都成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對x討論，分x≤-1，當(dāng)$-1＜x≤\frac{1}{2}$時，當(dāng)$x＞\frac{1}{2}$時去掉絕對值，解不等式，求并集即可得到所求解集；
（Ⅱ）運(yùn)用絕對值表達(dá)式的性質(zhì)，可得f（x）的最大值，即有|a-1|≤2a，解出a的范圍，可得a的最小值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=$-\frac{1}{2}$時，不等式化為：$|{x-\frac{1}{2}}|-|{x+1}|≤-1$，
當(dāng)x≤-1時，$\frac{1}{2}-x+x+1≤-1$，得$\frac{3}{2}≤-1$，
所以x∈Φ．…（2分）
當(dāng)$-1＜x≤\frac{1}{2}$時，$\frac{1}{2}-x-x-1≤-1$，得$x≥\frac{1}{4}$，
所以$\frac{1}{4}≤x≤\frac{1}{2}$成立．…（4分）
當(dāng)$x＞\frac{1}{2}$時，$x-\frac{1}{2}-x-1≤-1$，得$-\frac{1}{2}$≤0，所以$x＞\frac{1}{2}$成立．
綜上，原不等式的解集為$\left\{{x|x≥\frac{1}{4}}\right\}$…（6分）
（Ⅱ）∵|x+a|-|x+1|≤|（x+a）-（x+1）|=|a-1|，
∴f（x）=|x+a|-|x+1|的最大值為|a-1|…（8分）
由題意知：|a-1|≤2a，即-2a≤a-1≤2a，
 解得：a≥$\frac{1}{3}$，
所以實(shí)數(shù)a的最小值為$\frac{1}{3}$…（10分）

點(diǎn)評 本題考查絕對值表達(dá)式的解法和性質(zhì)，考查分類討論的思想方法和恒成立問題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．