Question

3．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長都為1，M是底面BC邊上的中點，N是側(cè)棱CC₁上的點，且$CN=\frac{1}{4}C{C_1}$，則AB₁與MN所成的角是$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 取AC中點O，A₁C₁中點D，以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AB₁與MN所成的角的大小．

解答 解：取AC中點O，A₁C₁中點D，
以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標系，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長都為1，M是底面BC邊上的中點，N是側(cè)棱CC₁上的點，且$CN=\frac{1}{4}C{C_1}$，
∴A（（0，-$\frac{1}{2}$，0），B₁（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，1），M（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{1}{4}$，0），N（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$），
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{MN}$=-$\frac{3}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$=0．
∴AB₁與MN所成的角是$\frac{π}{2}$．
故答案為：$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查空間中兩條異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．