Question

12．已知點P（3，4）和圓C：（x-1）²+y²=4，則|CP|=$2\sqrt{5}$，過點P與圓C相切的直線方程為x=3或y=$\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 由圓的方程求得圓心坐標(biāo)，由兩點間的距離公式求得|CP|；由題意畫出圖形，對切線的斜率分類討論，當(dāng)切線的斜率不存在時，直接寫出切線方程，當(dāng)切線的斜率存在時，
設(shè)出切線方程，由圓心到切線的距離等于圓的半徑求得k，可得切線方程．

解答 解：如圖
∵C（1，0），P（3，4），
∴|CP|=$\sqrt{（3-1）^{2}+（4-0）^{2}}=2\sqrt{5}$；
當(dāng)過點P與圓C相切的直線的斜率不存在時，切線方程為x=3；
當(dāng)過點P與圓C相切的直線的斜率存在時，
設(shè)切線方程為y-4=k（x-3），即kx-y-3k+4=0，
由圓心到切線的距離等于圓的半徑可得：$\frac{|k-3k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，
解得：k=$\frac{3}{4}$，
∴此時的切線方程為y=$\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}$．
∴過點P與圓C相切的直線方程為x=3或y=$\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}$．
故答案為：$2\sqrt{5}$，x=3或y=$\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}$．

點評 本題考查圓的切線方程，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了點到直線距離公式的應(yīng)用，是中檔題．