Question

8．已知$f（x）=\frac{2^x}{{1+{2^x}}}$
（Ⅰ）求f（-1），f（1）的值；
（Ⅱ）求f（a）+f（-a）的值；
（Ⅲ）判別并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的解析式計(jì)算f（-1）和f（1）的值；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)解析式計(jì)算f（a）+f（-a）的值；
（Ⅲ）函數(shù)f（x）是定義域R上的單調(diào)增函數(shù)，用單調(diào)性的定義即可證明．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{2^x}{{1+{2^x}}}$，
∴f（-1）=$\frac{{2}^{-1}}{1{+2}^{-1}}$=$\frac{1}{3}$，f（1）=$\frac{2}{1+2}$=$\frac{2}{3}$；
（Ⅱ）f（a）+f（-a）=$\frac{{2}^{a}}{1{+2}^{a}}$+$\frac{{2}^{-a}}{1{+2}^{-a}}$=$\frac{{2}^{a}}{1{+2}^{a}}$+$\frac{1}{{2}^{a}+1}$=1；
（Ⅲ）函數(shù)f（x）是定義域R上的單調(diào)增函數(shù)，
證明如下：任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，（1+${2}^{{x}_{1}}$）（1+${2}^{{x}_{2}}$）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}}{1{+2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}}{1{+2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{{2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}}{（1{+2}^{{x}_{1}}）（1{+2}^{{x}_{2}}）}$＞0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）是定義域R上的單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用函數(shù)的解析式求函數(shù)值以及利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性問題．是基礎(chǔ)題目．