Question

6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c，己知2cos²$\frac{A}{2}$+（cosB-$\sqrt{3}$sinB）cosC=1
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若b=2，且△ABC的面積取值范圍為[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式第一項利用誘導公式化簡，第二項利用單項式乘多項式法則計算，整理后根據(jù)sinA不為0求出tanB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（Ⅱ）利用三角形的面積求解a的范圍，然后利用余弦定理求解c的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）2cos²$\frac{A}{2}$+（cosB-$\sqrt{3}$sinB）cosC=1
可得cosA+（cosB-$\sqrt{3}$sinB）cosC=0，
∴-cos（C+B）+cosCcosB-$\sqrt{3}$sinBcosC=0，
∴sinCsinB-$\sqrt{3}$sinBcosC=0，
∵sinB≠0，
∴sinC-$\sqrt{3}$cosC=0，
∵cosC≠0，
∴tanC=$\sqrt{3}$，
∵C∈（0，π）．
解得C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）b=2，且△ABC的面積取值范圍為[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]，
可得$\frac{\sqrt{3}}{2}≤$$\frac{1}{2}absinC$$≤\sqrt{3}$，
可得：1≤a≤2．
由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+4-2a=（a-1）²+3∈[3，4]，
則c∈[$\sqrt{3}$，2]．

點評 本題主要考查余弦定理以及正弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的恒等變換公式的運用，同時考查三角形的面積公式及取值范圍，運用正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．